1)Какие мои дальнейшие действия?!
Пойти с ним в его страховую с бумажками, которые выдали гайцы и написать заявы (вы от себя он от себя) о случившемся с указанием виновника происшествия. Там назначат кто и когда проведет осмотр машины на предмет повреждений.
2)Будет ли суд?
Вряд ли.
3)Нужно ли мне писать еще какие то заявления?!
Читай п.1
4)Кто должен оплачивать диагностику-осмотр авто на предмет нанесенных повреждений?! Могут ли быть скрытые повреждения?!
Скрытые вряд-ли, но страховщику 100-200 грн на лапу и оценит все как надо

(хреновая практика, а шо делать?)
5)Сколько по времени может занять выплата?
Месяца 2, 2,5 где-то так.
6)Могу ли я забрать выплату наличными?
Конечно.
7)Что делать если я буду не согласен и оценкой их страховой?!
Прийдется немного постараться, чтобы оценка соответствовала вашим ожиданиям (подробности в п.4)
Все выводы на основании аналогичной ситуации произошедшей со мной в феврале этого года.